01. Cắt một chiếc bánh
Chúng ta hãy lấy một ví dụ từ lý thuyết số học đôi khi được gọi là "cắt một chiếc bánh." Vấn đề là lấy được nhiều nhất số miếng bánh với ít nhất số nhát cắt. 01 nhát cắt chỉ mang lại 02 miếng. 02 nhát cắt song song chỉ tạo thành 03 miếng; nhưng nếu chúng bắt chéo nhau, chúng có thể mang lại 04 miếng. Không có gì ở đây yêu cầu niềm tin: với tính chắc chắn có thể giải chứng (demonstrable) chúng ta biết rằng số miếng bánh lớn nhất chúng ta có thể có với 01 nhát cắt là 02; với 02 nhát cắt chiếc bánh là 04; với 04 nhát cắt là 11. Nếu bất kỳ ai không tin tưởng những kết quả cắt bánh của chúng ta - dù bao nhiêu lần chúng ta có thể cắt nó, vẫn có đủ để thực hiện ngoại trừ bắt đầu lại với một chiếc bánh mới và tiến hành bằng sự lặp lại quá trình giải chứng (demonstration), từng bước một, từng nhát một, đếm số miếng ngay khi chúng ta cắt. Không có cách nào mà bất kỳ ai có thể từng có 05 hay nhiều hơn miếng bánh với chỉ 02 nhát cắt [thẳng]; hay không thể có số miếng bánh nhiều hơn 11, với 04 nhát cắt.
Thứ được gọi là "bánh" chỉ là một hình thể tròn hai chiều trừu tượng, và không thực sự là một chiếc bánh bốn chiều, nóng hổi từ vỉ nướng, phủ lên một lớp đệm bơ lỏng và xức lên nước xi rô. Do đó, dễ thấy chúng ta không thể chia tách chiếc bánh với một nhát cắt song song với đĩa, hay gập nó lại, bởi vì nó được giả định là một mặt phẳng, hai chiều, có hình đĩa; chỉ những nhát cắt đúng quy tắc được cho phép. Tiến hành theo cách đó, những chân lý như vậy có thể được minh hoạ một cách chắc chắn và thuyết phục trên đĩa ăn sáng của một người. Ba nhát cắt mang lại maximum là 07 miếng; và không hề lay chiển, số miếng bánh lớn nhất có thể đạt được với 04 nhát cắt bánh là 11. Những con số đấy không là vấn đề niềm tin hay quan điểm của ai đó. Chúng tất yếu đúng, với điều kiện là (và điều này là quan trọng) sự giải chứng (demonstration) của chúng ta tuân theo tất cả các quy tắc. Và chân lý được thiết lập là có cùng tính nghiêm ngặt và tính xác thực như một kết quả được giải minh của đại số phổ thông với x's và y's, sau đấy chúng ta được phép viết Q.E.D., viết tắt của "quod erat demonstrandum", hay "điều phải chứng minh".
02. Chiếc bánh Đát-đặc-la
Từ "giải chứng" nếu được hiểu với cùng ý nghĩa và sự rõ ràng như trong nghĩa toán học và kỹ thuật, nó phải được phân biệt với những thứ gần đúng theo cách sử dụng thông thường của từ này. Chúng ta có lẽ đạt được sự thấu suốt nào đó về tính tổng thể chắc chắn và đầy đủ khả hữu cho một kinh nghiệm có thể giải chứng - bổ sung cho cách nhìn "đĩa ăn sáng" được cắt thành miếng - bằng cách suy ngẫm về ý nghĩa của "giải chứng" từ cái nhìn toàn thể của thuyết pháp Đát-đặc-la (certain high Tantric teachings) theo trường phái Kim cương thừa (Vajrayana) của Phật giáo Tây tạng. Theo thuyết pháp tu hành của Phật giáo Đát-đặc-la, ở cấp độ thừa (yana) thứ chín - chặng cuối cùng của đạo, được gọi là Ðại Thành Tựu (maha ati hay ati yoga) - cấp độ có ý là vừa ở điểm khởi đầu vừa ở điểm kết thúc, nơi mà cái nhìn được mô tả bằng một phối cảnh toàn hướng và toàn thể với một không gian bao la và tính rộng mở tối đa.
Dĩ nhiên, Ðại Thành Tựu có sinh khí, rộng mở và thông suốt - mọi thứ ở đó. Nhưng nếu chúng ta bắt đầu phân chia dharma [chân lý], cắt nó thành những miếng nhỏ như chúng ta cắt một tảng sườn bò thành những miếng bít tết bò lăn, hamburger... với những lát thịt bò nhất định mà có giá hơn những lát khác, khi đó dharma đang được rao bán... Cấp độ Ðại Thành Tựu là tất yếu để giữ dharma khỏi bị đóng gói và rao bán; như thế, nó là tất yếu để bảo tồn tính lành mạnh của đạo...
Có một câu chiện kể về bầu trời sập xuống, nhưng chúng ta không thực sự tin rằng thứ như thế có thể xảy ra. Bầu trời trở thành một chiếc bánh xanh ngắt và rớt xuống đầu chúng ta - không ai tin điều đó. Nhưng theo trải nghiệm maha ati, nó thực sự xảy ra. Có một chiều đột biến mới, một chiều logic mới. Nó giống như chúng ta đang tính toán một vấn đề toán học rất nhanh trong một quyển sổ tay, và bỗng nhiên một cách tiếp cận mới hoàn toàn hé sáng với ta, bứt ta khỏi đường mòn của mình. Quan điểm của ta trở nên hoàn toàn khác biệt...
Cách tiếp cận thông thường của ta với chân lý và thực tế là nghèo nàn đến nỗi chúng ta không nhận ra rằng chân lý (truth) không là một chân lý mà toàn chân lý... Có tất cả những cách thức triết học, tâm lý, tôn giáo và cảm tính mà chúng ta dùng để thúc đẩy chính mình, thứ mà nói rằng chúng ta có thể làm điều gì đó không ai khác có thể làm. Bởi vì chúng ta nghĩ mình là người duy nhất có thể làm điều gì đó, chúng ta khởi động máy móc và làm nó. Và nếu sự thể thành ra có ai đó khác đã thực sự làm được điều đó, chúng ta bắt đầu cảm thấy ghen tị và bực bội. Thực tế, dharma đã bị rao bán hay đấu giá theo cách đó. Nhưng từ điểm nhìn của Thành tựu (ati), có "toàn" dharma hơn là "một" dharma. Ý niệm "một và chỉ một" không áp dụng được chút nào. Nếu chiếc bánh khổng lồ rớt xuống đầu chúng ta, nó rớt xuống đầu mọi người.
Trong một nghĩa nào đó, nó vừa là một chiện đùa lớn vừa là một thông điệp lớn. Bạn thậm chí không thể chạy tới của nhà hàng xóm của bạn để nói, " Tôi bị một chiếc bánh nhỏ rớt trúng đầu. Tôi có thể làm gì đây? Tôi muốn gội đầu." Bạn không có nơi đâu để đi. Nó là một chiếc bánh vũ trụ mà rơi xuống bất kỳ đâu trên bề mặt trái đất. Bạn không thể chạy thoát - đó là điểm cơ bản. Từ điểm nhìn này, các vấn đề và các triển vọng đều có tính vũ trụ.
03. Chứng minh của Euclid
Với sự quan tâm của chúng tôi, sự khác biệt cốt yếu giữa giải chứng (demonstration) và chứng minh (proof) có thể được giải trình bằng cách trích lại một bài diễn thuyết về chủ đề này của G. Spencer Brown. Chúng tôi đưa ra một phiên bản gồm những ghi chú đã được biên tập một phần - tới nay chỉ được tư nhân xuất bản - mà Spencer Brown đã trình bày trong một buổi nói chuyện đặc biệt vào năm 1973. [...]
Sự khác biệt giữa giải chứng và chứng minh là một sự giải chứng luôn luôn làm theo các quy tắc. Một máy tính có thể làm một sự giải chứng... Dù chúng ta đang lànm một sự giải chứng hay máy tính đang làm, thì chúng ta chỉ tuân theo các quy tắc của phép tính. Nhưng khi chúng ta chứng minh điều gì đó, chúng ta luôn thấy là chúng ta không thể thấy những quy tắc của phép tính. Nói khác đi, không máy tính nào sẽ tính được một chứng minh.
Chứng minh khá khác biệt. Chứng minh không bao giờ có thể được giải chứng. Tôi sẽ đưa ra một ví dụ về chứng minh - một thứ quen thuộc với tất cả chúng ta, một minh hoạ không phải dưới hình thức luận lý mà dưới hình thức số học phổ thông của các con số - một định lý tuyệt đẹp và một chứng minh tuyệt đẹp của Euclid.
Câu hỏi đặt ra: Số các số nguyên tố có hữu hạn hay không?
(còn tiếp)
--------------
* Dịch dật từ nguồn sau: Link
.
Chúng ta hãy lấy một ví dụ từ lý thuyết số học đôi khi được gọi là "cắt một chiếc bánh." Vấn đề là lấy được nhiều nhất số miếng bánh với ít nhất số nhát cắt. 01 nhát cắt chỉ mang lại 02 miếng. 02 nhát cắt song song chỉ tạo thành 03 miếng; nhưng nếu chúng bắt chéo nhau, chúng có thể mang lại 04 miếng. Không có gì ở đây yêu cầu niềm tin: với tính chắc chắn có thể giải chứng (demonstrable) chúng ta biết rằng số miếng bánh lớn nhất chúng ta có thể có với 01 nhát cắt là 02; với 02 nhát cắt chiếc bánh là 04; với 04 nhát cắt là 11. Nếu bất kỳ ai không tin tưởng những kết quả cắt bánh của chúng ta - dù bao nhiêu lần chúng ta có thể cắt nó, vẫn có đủ để thực hiện ngoại trừ bắt đầu lại với một chiếc bánh mới và tiến hành bằng sự lặp lại quá trình giải chứng (demonstration), từng bước một, từng nhát một, đếm số miếng ngay khi chúng ta cắt. Không có cách nào mà bất kỳ ai có thể từng có 05 hay nhiều hơn miếng bánh với chỉ 02 nhát cắt [thẳng]; hay không thể có số miếng bánh nhiều hơn 11, với 04 nhát cắt.
Thứ được gọi là "bánh" chỉ là một hình thể tròn hai chiều trừu tượng, và không thực sự là một chiếc bánh bốn chiều, nóng hổi từ vỉ nướng, phủ lên một lớp đệm bơ lỏng và xức lên nước xi rô. Do đó, dễ thấy chúng ta không thể chia tách chiếc bánh với một nhát cắt song song với đĩa, hay gập nó lại, bởi vì nó được giả định là một mặt phẳng, hai chiều, có hình đĩa; chỉ những nhát cắt đúng quy tắc được cho phép. Tiến hành theo cách đó, những chân lý như vậy có thể được minh hoạ một cách chắc chắn và thuyết phục trên đĩa ăn sáng của một người. Ba nhát cắt mang lại maximum là 07 miếng; và không hề lay chiển, số miếng bánh lớn nhất có thể đạt được với 04 nhát cắt bánh là 11. Những con số đấy không là vấn đề niềm tin hay quan điểm của ai đó. Chúng tất yếu đúng, với điều kiện là (và điều này là quan trọng) sự giải chứng (demonstration) của chúng ta tuân theo tất cả các quy tắc. Và chân lý được thiết lập là có cùng tính nghiêm ngặt và tính xác thực như một kết quả được giải minh của đại số phổ thông với x's và y's, sau đấy chúng ta được phép viết Q.E.D., viết tắt của "quod erat demonstrandum", hay "điều phải chứng minh".
02. Chiếc bánh Đát-đặc-la
Từ "giải chứng" nếu được hiểu với cùng ý nghĩa và sự rõ ràng như trong nghĩa toán học và kỹ thuật, nó phải được phân biệt với những thứ gần đúng theo cách sử dụng thông thường của từ này. Chúng ta có lẽ đạt được sự thấu suốt nào đó về tính tổng thể chắc chắn và đầy đủ khả hữu cho một kinh nghiệm có thể giải chứng - bổ sung cho cách nhìn "đĩa ăn sáng" được cắt thành miếng - bằng cách suy ngẫm về ý nghĩa của "giải chứng" từ cái nhìn toàn thể của thuyết pháp Đát-đặc-la (certain high Tantric teachings) theo trường phái Kim cương thừa (Vajrayana) của Phật giáo Tây tạng. Theo thuyết pháp tu hành của Phật giáo Đát-đặc-la, ở cấp độ thừa (yana) thứ chín - chặng cuối cùng của đạo, được gọi là Ðại Thành Tựu (maha ati hay ati yoga) - cấp độ có ý là vừa ở điểm khởi đầu vừa ở điểm kết thúc, nơi mà cái nhìn được mô tả bằng một phối cảnh toàn hướng và toàn thể với một không gian bao la và tính rộng mở tối đa.
Dĩ nhiên, Ðại Thành Tựu có sinh khí, rộng mở và thông suốt - mọi thứ ở đó. Nhưng nếu chúng ta bắt đầu phân chia dharma [chân lý], cắt nó thành những miếng nhỏ như chúng ta cắt một tảng sườn bò thành những miếng bít tết bò lăn, hamburger... với những lát thịt bò nhất định mà có giá hơn những lát khác, khi đó dharma đang được rao bán... Cấp độ Ðại Thành Tựu là tất yếu để giữ dharma khỏi bị đóng gói và rao bán; như thế, nó là tất yếu để bảo tồn tính lành mạnh của đạo...
Có một câu chiện kể về bầu trời sập xuống, nhưng chúng ta không thực sự tin rằng thứ như thế có thể xảy ra. Bầu trời trở thành một chiếc bánh xanh ngắt và rớt xuống đầu chúng ta - không ai tin điều đó. Nhưng theo trải nghiệm maha ati, nó thực sự xảy ra. Có một chiều đột biến mới, một chiều logic mới. Nó giống như chúng ta đang tính toán một vấn đề toán học rất nhanh trong một quyển sổ tay, và bỗng nhiên một cách tiếp cận mới hoàn toàn hé sáng với ta, bứt ta khỏi đường mòn của mình. Quan điểm của ta trở nên hoàn toàn khác biệt...
Cách tiếp cận thông thường của ta với chân lý và thực tế là nghèo nàn đến nỗi chúng ta không nhận ra rằng chân lý (truth) không là một chân lý mà toàn chân lý... Có tất cả những cách thức triết học, tâm lý, tôn giáo và cảm tính mà chúng ta dùng để thúc đẩy chính mình, thứ mà nói rằng chúng ta có thể làm điều gì đó không ai khác có thể làm. Bởi vì chúng ta nghĩ mình là người duy nhất có thể làm điều gì đó, chúng ta khởi động máy móc và làm nó. Và nếu sự thể thành ra có ai đó khác đã thực sự làm được điều đó, chúng ta bắt đầu cảm thấy ghen tị và bực bội. Thực tế, dharma đã bị rao bán hay đấu giá theo cách đó. Nhưng từ điểm nhìn của Thành tựu (ati), có "toàn" dharma hơn là "một" dharma. Ý niệm "một và chỉ một" không áp dụng được chút nào. Nếu chiếc bánh khổng lồ rớt xuống đầu chúng ta, nó rớt xuống đầu mọi người.
Trong một nghĩa nào đó, nó vừa là một chiện đùa lớn vừa là một thông điệp lớn. Bạn thậm chí không thể chạy tới của nhà hàng xóm của bạn để nói, " Tôi bị một chiếc bánh nhỏ rớt trúng đầu. Tôi có thể làm gì đây? Tôi muốn gội đầu." Bạn không có nơi đâu để đi. Nó là một chiếc bánh vũ trụ mà rơi xuống bất kỳ đâu trên bề mặt trái đất. Bạn không thể chạy thoát - đó là điểm cơ bản. Từ điểm nhìn này, các vấn đề và các triển vọng đều có tính vũ trụ.
03. Chứng minh của Euclid
Với sự quan tâm của chúng tôi, sự khác biệt cốt yếu giữa giải chứng (demonstration) và chứng minh (proof) có thể được giải trình bằng cách trích lại một bài diễn thuyết về chủ đề này của G. Spencer Brown. Chúng tôi đưa ra một phiên bản gồm những ghi chú đã được biên tập một phần - tới nay chỉ được tư nhân xuất bản - mà Spencer Brown đã trình bày trong một buổi nói chuyện đặc biệt vào năm 1973. [...]
Sự khác biệt giữa giải chứng và chứng minh là một sự giải chứng luôn luôn làm theo các quy tắc. Một máy tính có thể làm một sự giải chứng... Dù chúng ta đang lànm một sự giải chứng hay máy tính đang làm, thì chúng ta chỉ tuân theo các quy tắc của phép tính. Nhưng khi chúng ta chứng minh điều gì đó, chúng ta luôn thấy là chúng ta không thể thấy những quy tắc của phép tính. Nói khác đi, không máy tính nào sẽ tính được một chứng minh.
Chứng minh khá khác biệt. Chứng minh không bao giờ có thể được giải chứng. Tôi sẽ đưa ra một ví dụ về chứng minh - một thứ quen thuộc với tất cả chúng ta, một minh hoạ không phải dưới hình thức luận lý mà dưới hình thức số học phổ thông của các con số - một định lý tuyệt đẹp và một chứng minh tuyệt đẹp của Euclid.
Câu hỏi đặt ra: Số các số nguyên tố có hữu hạn hay không?
(còn tiếp)
--------------
* Dịch dật từ nguồn sau: Link
.
No comments:
Post a Comment